ベクトルが苦手な人の克服法｜平面から空間へ進む順番

ベクトルが苦手になるのは、向きを持つ量という新しい考え方と記号が一度に入ってくるためです。和と差・実数倍→位置ベクトル→成分→内積の4段を順に固め、空間はそのあとz成分を1つ足して広げると考えると、克服までの道筋が見えてきます。

この記事でわかること

ベクトルは、現行の学習指導要領では数学Cで学ぶ単元です。矢印の足し算まではついていけたのに、内積やベクトル方程式のあたりから急にわからなくなった、という高校生は少なくありません。

この記事では、ベクトルOAを「→OA」、ベクトルaを「→a」と書きます。

ベクトルが苦手になる3つの型

ベクトルの苦手は、どこで止まっているかによって3つの型に分かれます。型が違えば戻る場所も違うので、まず自分がどれに近いかを見てください。

愛媛県高等学校教育研究会 数学部会のサイトに載っている実践報告（愛媛県立松山北高等学校）は、つまずきの原因をこう書いています。ベクトルは「大きさだけでなく、向きも考える」新しい概念で、その記法が理解を難しくしている、という指摘です。

同じ報告は、ベクトル方程式を「教えてもらったときは、何となく分かるところ」とも書いています。時間がたつにつれて分かりにくくなる単元、という見立てです。

• 矢印の型：和と差で始点と終点がずれ、→AB と →BA を取り違える
• 図形の型：成分の計算はできるのに、三角形や平行四辺形の問題になると何を求めればいいかわからない
• ベクトル方程式の型：→OP＝s→OA＋t→OB の式は覚えたのに、点Pがどこにあるのか図にならない

個別指導塾で高校生のベクトルを見ていても、止まる場所はほぼこのどれかです。いちばん多いのは図形の型で、計算練習ばかりしてきた生徒ほどここで手が止まります。

苦手の型と戻り先

型	よくある症状	戻る場所
矢印の型	差の向きが逆になる・和の図が描けない	和と差・実数倍
図形の型	比の問題で式が立たない・交点が出せない	位置ベクトルと内分点
ベクトル方程式の型	式は書けても点の位置がわからない	s＋t＝1 を点で打つ練習

ベクトルは平面から空間へ、この順番で固める

ベクトルは、前の段の道具を使って次の段を解く作りになっています。文部科学省の高等学校学習指導要領（平成30年告示）でも、数学Cのベクトルは次の順です。

1. 平面上のベクトルの意味、相等、和、差、実数倍、位置ベクトル、成分表示
2. ベクトルの内積とその基本的な性質
3. 座標とベクトルの考えが平面から空間に拡張できること

同じ学習指導要領では、数学Cは数学Iを履修した後に学ぶのが原則です。内積で使う cos も、数学Iの三角比で一度習っています。

ベクトルの学ぶ順番と戻り先

順	単元	できるようになりたいこと	詰まったときの戻り先
1	和・差・実数倍	矢印をつないで和と差を描ける	中学の平行四辺形
2	位置ベクトル・内分点	始点をOにそろえて内分点を式にできる	中学の相似と線分の比
3	成分表示	成分で和・差・大きさを計算できる	三平方の定理・座標
4	内積	成分と cosθ の2通りで内積を出せる	数学Iの三角比
5	空間への拡張	z成分を足して同じ計算ができる	1〜4 と空間図形

ベクトルを固める5つの段

• 止まった段の1つ前に戻る
• 1和・差・実数倍→AB＝→OB−→OA（終点から始点を引く）を図で確かめる
• 2位置ベクトル始点をOにそろえ、内分点を →OA と →OB で表す
• 3成分表示和・差・大きさを座標の計算に置きかえる
• 4内積成分の式と「長さ×長さ×cosθ」の両方で出す
• 5空間へ広げるz成分を足して、1〜4と同じ計算をする

空間ベクトルで止まった人も、多くは2か4に原因がある

図：ベクトルは和と差から内積まで平面で固め、最後に空間へ広げる。止まった段の1つ前が戻り先になる

和と差は「終点から始点を引く」で向きがそろう

矢印の型の人は、→AB＝→OB−→OA（終点の位置ベクトルから始点を引く）を、図を描いて一度確かめてください。式だけで覚えると、→OA−→OB と逆に書くミスが続きます。

たとえば O を原点、A(1, 3)、B(4, 1) とします。→AB＝(4−1, 1−3)＝(3, −2) です。A から右に3、下に2進むと B に着くので、図と式が一致します。

位置ベクトルで内分点を式にする

線分ABを m：n に内分する点Pは、→OP＝(n→OA＋m→OB)／(m＋n) で表せます。m と n が「逆側」に掛かる形なので、取り違えが多いところです。

さきほどの A(1, 3)、B(4, 1) で、ABを1：2に内分する点Pを求めます。→OP＝{2(1, 3)＋1(4, 1)}／3＝(6／3, 7／3)＝(2, 7／3) です。

A から B への移動 (3, −2) の3分の1だけ進むと、(1＋1, 3−2／3)＝(2, 7／3) になります。同じ点に着いたので、係数の掛け方は合っていました。

内積は2つの出し方を両方使う

内積には、成分で出す方法と「長さ×長さ×cosθ」で出す方法があります。2つを行き来できると、なす角も垂直も同じ道具で解けます。

→a＝(1, 2)、→b＝(3, 1) なら、成分の式で →a・→b＝1×3＋2×1＝5 です。|→a|＝√5、|→b|＝√10 なので、cosθ＝5／(√5×√10)＝1／√2 となり、なす角は45°とわかります。

内積の答えは矢印ではなく、ただの数です。どちらも0ベクトルでないとき、内積が0なら2つのベクトルは垂直です。

成分で解くか図で解くかは問題文で決める

成分と図のどちらで解くかは、問題文に座標が書いてあるかどうかでほぼ決まります。迷う時間を減らすために、入口の選び方を先に決めておきましょう。

問題文の手がかりと、先に選ぶ方法

問題文の手がかり	先に選ぶ方法	最初の一手
点の座標・成分が書いてある	成分	成分を書き出して計算する
三角形の辺の比だけが書いてある	位置ベクトル	始点をOにそろえ →OA と →OB で表す
2本の線の交点を求める	位置ベクトル	交点を2通りに表し係数を比べる
垂直・なす角・長さを聞かれる	内積	長さは	→a	²＝→a・→a で2乗して扱う
空間で立体が描きにくい	成分	都合のよい点を原点に置き座標をつける

成分か図かの選び方

• 問題文を読んだら、まずここを見る
• 1座標や成分が書いてあるか書いてあれば成分で計算する
• 2比だけが書いてあるか始点をOにそろえ、→OA と →OB の2本で表す
• 3垂直・角・長さを聞かれているか内積を使う。長さは2乗して内積に直す
• 4空間で図が描きにくいか座標を置いて成分の計算に変える

図：座標があれば成分、比だけなら位置ベクトル。聞かれているのが垂直・角・長さなら内積を選ぶ

交点の問題は「2通りに表して係数を比べる」

図形の型でいちばん止まりやすいのが、2本の線の交点です。手順を1題で確かめてみましょう。

三角形OABで、辺OAの中点をC、辺OBを2：1に内分する点をDとします。線分ADとBCの交点をPとして、→OP を →a＝→OA と →b＝→OB で表します。

1. P は AD 上にあるので、→OP＝(1−s)→a＋(2／3)s→b と書く
2. P は BC 上にもあるので、→OP＝(1／2)t→a＋(1−t)→b と書く
3. →a と →b は平行でなく0でもないので、係数どうしを比べてよい
4. 1−s＝t／2、(2／3)s＝1−t を解くと、s＝3／4、t＝1／2
5. よって →OP＝(1／4)→a＋(1／2)→b

手順3の「平行でなく0でもない」は、答案に書いておきたい一文です。これが無いと、係数を比べてよい理由が伝わりません。

ベクトル方程式は s＋t＝1 を点で打って確かめる

→OP＝s→OA＋t→OB で s＋t＝1 のとき、点Pは直線AB上にあります。式を覚えるより、s と t に数を入れて点を打つほうが早く身につきます。

s＋t＝1 のときの点Pの位置

s	t	点Pの位置
1	0	点A
0	1	点B
1／2	1／2	線分ABの中点
2	−1	Aの外側（Bと反対側）の直線上

さらに s≧0、t≧0 の条件がつくと、点Pの範囲は線分AB上だけです。表の4行目のように、s か t が負になると、点は線分の外へ出ます。

s＋t が1でないときは、1になるように割る

さきほどの実践報告は、s＋t＝3 のような問題を次のように書きかえて解かせています。両辺を3で割り、s／3＋t／3＝1 の形にする方法です。

→OP＝(s／3)(3→OA)＋(t／3)(3→OB) と見て、3→OA＝→OA′、3→OB＝→OB′ とおきます。すると点Pは直線A′B′上にある、と s＋t＝1 の形に戻せます。

同じ報告によると、この書きかえを使った定期考査の問題で、直線上の点を答える小問の正答率は88人中88人でした。一方で報告者は、型のある問題は解けるようになったものの、図形を読み解く力は別に育てる必要があるとも書いています。

s と t の条件で点Pの範囲が変わる

• →OP＝s→OA＋t→OB の点Pはどこにあるか
• • s＋t＝1直線AB上
  • s＋t＝1、s≧0、t≧0線分AB上
  • s＋t＝33で割って、3→OA、3→OB の終点を結ぶ直線上
  • s＋t≦1、s≧0、t≧0三角形OABの周と内部

図：s＋t の値を1にそろえてから、直線・線分・三角形のどれになるかを読む

空間ベクトルで増えるのは成分1つと「同じ平面」の条件

空間ベクトルは、平面で使った道具にz成分を1つ足したものと考えて進めてください。学習指導要領も、座標とベクトルの考えが「平面から空間に拡張できること」として扱っています。

平面と空間で変わるところ

項目	平面	空間
成分	(x, y)	(x, y, z)
大きさ	√(x²＋y²)	√(x²＋y²＋z²)
内積（成分）	x₁x₂＋y₁y₂	x₁x₂＋y₁y₂＋z₁z₂
点Pが同じ直線・平面上	s＋t＝1 で直線AB上	s＋t＋u＝1 で平面ABC上
垂直の確かめ方	1本と内積が0	平面上の交わる2本と内積が0

たとえば →a＝(1, 2, 2) の大きさは、√(1＋4＋4)＝3 です。計算の形は平面とほとんど変わりません。

新しく考えることは、4点が同じ平面上にある条件と、平面に垂直なベクトルの2つくらいです。どちらも、平面で身につけた s＋t＝1 と「内積が0なら垂直」をそのまま広げた形になっています。

空間の図が描けない人は、直方体をいつも同じ向きで描くか、どこかの頂点を原点に置いて座標をつけてください。図形として考え続けるより、成分の計算に変えたほうが早く答えに届く問題も多くあります。空間座標のつまずき方は数学の図形・空間座標が苦手なときの克服法で詳しく書きました。

ベクトルの練習量と2週間の立て直し方

新しい問題集を買い足すより、手元の教科書傍用問題集か網羅系参考書の「ベクトル」の章を、5つの段の順に1周するほうが身につきます。章の中を行き来せず、順番どおりに進めるのがこつです。

参考書を選ぶときは、表紙の科目名を確かめてください。2022年4月以降に高校へ入学した学年から今の学習指導要領が適用され、新しい課程の本ではベクトルは「数学C」の巻に入っています。古い課程の本では、ベクトルは「数学B」の巻です。

ベクトルを立て直す2週間の目安

期間	やること	終わりの目安
1〜3日目	和・差・実数倍、位置ベクトルと内分点の例題	内分点の式を図と一致させて書ける
4〜6日目	成分表示と内積の例題・類題	なす角を成分から出せる
7〜10日目	交点の問題、ベクトル方程式（s＋t＝1）	交点を2通りに表して係数を比べられる
11〜14日目	空間ベクトルの例題、間違えた問題の解き直し	平面で解いた型を空間で再現できる

1日の量は、例題2〜3題と、その類題までで十分です。間違えた問題には印をつけ、11日目以降にまとめて解き直してください。

時間は学校の進度やテストの日程で前後してかまいません。数学B・Cの他の単元とあわせた進め方は、数学IIB（数2B）の勉強法にまとめています。

よくある質問

まとめ

まとめ

最近のテストで落としたベクトルの問題を1つ選び、上の表のどの段で止まったかを確かめてみてください。止まった段がわかれば、明日から戻る場所が決まります。

• 数学IIB（数2B）の勉強法
• 数学の図形・空間座標が苦手なときの克服法
• 数学のやり直しはどこから始めるか
• 高校数学の独学のやり方